Resolver 1/x-3+18/x^2-9=x/x+3

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

Resolver x

$$x=7$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,3 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Suma 3 e 18 para obter 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Engadir 3x en ambos lados.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combina x e 3x para obter 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx+21. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

A solución é a parella que fornece a suma 4.

$$a=7 b=-3$$

Reescribe -x^{2}+4x+21 como \left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Factoriza -x no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Factoriza o termo común x-7 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-7=0 e -x-3=0.

$$x=7 x=-3$$

A variable x non pode ser igual que -3.

$$x=7$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,3 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Suma 3 e 18 para obter 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Engadir 3x en ambos lados.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combina x e 3x para obter 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 4 e c por 21 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 4 ao cadrado.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 16 a 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±10}{-2} se ± é máis. Suma -4 a 10.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divide 6 entre -2.

$$x=-3$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±10}{-2} se ± é menos. Resta 10 de -4.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

Divide -14 entre -2.

$$x=7$$

A ecuación está resolta.

$$x=-3 x=7$$

A variable x non pode ser igual que -3.

$$x=7$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,3 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Suma 3 e 18 para obter 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-3 por x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Engadir 3x en ambos lados.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combina x e 3x para obter 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Resta 21 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-x^{2}=-21$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=-21$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

Divide 4 entre -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

Divide -21 entre -1.

$$x^{2}-4x=21$$

Divide -4, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -2. Despois, suma o cadrado de -2 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 ao cadrado.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Suma 21 a 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Factoriza x^{2}-4x+4. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplifica.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=7 x=-3$$

A variable x non pode ser igual que -3.

$$x=7$$