Resolver x+1/x+x/x+1=5/2

$$\frac { x + 1 } { x } + \frac { x } { x + 1 } = \frac { 5 } { 2 }$$

Resolver x

$$x=1$$

$$x=-2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -1,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2x\left(x+1\right), o mínimo común denominador de x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x+2 por x+1 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combina 2x^{2} e 2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5x por x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Resta 5x^{2} en ambos lados.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combina 4x^{2} e -5x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Resta 5x en ambos lados.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combina 4x e -5x para obter -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx+2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=1 b=-2$$

Reescribe -x^{2}-x+2 como \left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Factoriza x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Factoriza o termo común -x+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve -x+1=0 e x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -1,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2x\left(x+1\right), o mínimo común denominador de x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x+2 por x+1 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combina 2x^{2} e 2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5x por x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Resta 5x^{2} en ambos lados.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combina 4x^{2} e -5x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Resta 5x en ambos lados.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combina 4x e -5x para obter -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por -1 e c por 2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 1 a 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-1\right)}$$

O contrario de -1 é 1.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{1±3}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±3}{-2} se ± é máis. Suma 1 a 3.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Divide 4 entre -2.

$$x=-2$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±3}{-2} se ± é menos. Resta 3 de 1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Divide -2 entre -2.

$$x=1$$

A ecuación está resolta.

$$x=-2 x=1$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -1,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2x\left(x+1\right), o mínimo común denominador de x,x+1,2.

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x+2 por x+1 e combina os termos semellantes.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Multiplica x e x para obter x^{2}.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

Combina 2x^{2} e 2x^{2} para obter 4x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5x por x+1.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Resta 5x^{2} en ambos lados.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

Combina 4x^{2} e -5x^{2} para obter -x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Resta 5x en ambos lados.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

Combina 4x e -5x para obter -x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Resta 2 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-x^{2}-x=-2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{2}{-1}$$

Divide -1 entre -1.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{-1}$$

Divide -2 entre -1.

$$x^{2}+x=2$$

Divide 1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Suma 2 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Factoriza x^{2}+x+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=1 x=-2$$