Resolver frac{4-sqrt{2}}{4+sqrt{2}}-frac{4+sqrt{2}}{4-sqrt{2}}

$$\frac { 4 - \sqrt { 2 } } { 4 + \sqrt { 2 } } - \frac { 4 + \sqrt { 2 } } { 4 - \sqrt { 2 } }$$

Calcular

$$-\frac{8\sqrt{2}}{7}\approx -1.616244071$$

Pasos de solución curta

Racionaliza o denominador de \frac{4-\sqrt{2}}{4+\sqrt{2}} mediante a multiplicación do numerador e o denominador por 4-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Considera \left(4+\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Eleva 4 ao cadrado. Eleva \sqrt{2} ao cadrado.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{16-2}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Resta 2 de 16 para obter 14.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4-\sqrt{2}\right)}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Multiplica 4-\sqrt{2} e 4-\sqrt{2} para obter \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4-\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(4-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

O cadrado de \sqrt{2} é 2.

$$\frac{16-8\sqrt{2}+2}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Suma 16 e 2 para obter 18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}}$$

Racionaliza o denominador de \frac{4+\sqrt{2}}{4-\sqrt{2}} mediante a multiplicación do numerador e o denominador por 4+\sqrt{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{\left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}$$

Considera \left(4-\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Eleva 4 ao cadrado. Eleva \sqrt{2} ao cadrado.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{16-2}$$

Resta 2 de 16 para obter 14.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{2}\right)}{14}$$

Multiplica 4+\sqrt{2} e 4+\sqrt{2} para obter \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{\left(4+\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{14}$$

O cadrado de \sqrt{2} é 2.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{16+8\sqrt{2}+2}{14}$$

Suma 16 e 2 para obter 18.

$$\frac{18-8\sqrt{2}}{14}-\frac{18+8\sqrt{2}}{14}$$

Dado que \frac{18-8\sqrt{2}}{14} e \frac{18+8\sqrt{2}}{14} teñen o mesmo denominador, réstaos mediante a resta dos seus numeradores.

$$\frac{18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right)}{14}$$

Fai as multiplicacións en 18-8\sqrt{2}-\left(18+8\sqrt{2}\right).

$$\frac{18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}}{14}$$

Fai os cálculos en 18-8\sqrt{2}-18-8\sqrt{2}.

$$\frac{-16\sqrt{2}}{14}$$

Divide -16\sqrt{2} entre 14 para obter -\frac{8}{7}\sqrt{2}.

$$-\frac{8}{7}\sqrt{2}$$