Resolver 4/x-3=25/x^2-9+1

$$\frac { 4 } { x - 3 } = \frac { 25 } { x ^ { 2 } - 9 } + 1$$

Resolver x

$$x=2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,3 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x-3,x^{2}-9.

$$\left(x+3\right)\times 4=25+\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+3 por 4.

$$4x+12=25+\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Considera \left(x-3\right)\left(x+3\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 ao cadrado.

$$4x+12=25+x^{2}-9$$

Resta 9 de 25 para obter 16.

$$4x+12=16+x^{2}$$

Resta 16 en ambos lados.

$$4x+12-16=x^{2}$$

Resta 16 de 12 para obter -4.

$$4x-4=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$4x-4-x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-x^{2}+4x-4=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx-4. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=4 ab=-\left(-4\right)=4$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 4.

$$1,4 2,2$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+4=5 2+2=4$$

A solución é a parella que fornece a suma 4.

$$a=2 b=2$$

Reescribe -x^{2}+4x-4 como \left(-x^{2}+2x\right)+\left(2x-4\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(2x-4\right)$$

Factoriza -x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$-x\left(x-2\right)+2\left(x-2\right)$$

Factoriza o termo común x-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(-x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-2=0 e -x+2=0.

$$x=2 x=2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,3 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x-3,x^{2}-9.

$$\left(x+3\right)\times 4=25+\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+3 por 4.

$$4x+12=25+\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Considera \left(x-3\right)\left(x+3\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 ao cadrado.

$$4x+12=25+x^{2}-9$$

Resta 9 de 25 para obter 16.

$$4x+12=16+x^{2}$$

Resta 16 en ambos lados.

$$4x+12-16=x^{2}$$

Resta 16 de 12 para obter -4.

$$4x-4=x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$4x-4-x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}+4x-4=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 4 e c por -4 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 4 ao cadrado.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\left(-4\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 16 a -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{4}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Divide -4 entre -2.

$$x=2$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -3,3 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por \left(x-3\right)\left(x+3\right), o mínimo común denominador de x-3,x^{2}-9.

$$\left(x+3\right)\times 4=25+\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+3 por 4.

$$4x+12=25+\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

Considera \left(x-3\right)\left(x+3\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 ao cadrado.

$$4x+12=25+x^{2}-9$$

Resta 9 de 25 para obter 16.

$$4x+12=16+x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$4x+12-x^{2}=16$$

Resta 12 en ambos lados.

$$4x-x^{2}=16-12$$

Resta 12 de 16 para obter 4.

$$4x-x^{2}=4$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=4$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=\frac{4}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=\frac{4}{-1}$$

Divide 4 entre -1.

$$x^{2}-4x=\frac{4}{-1}$$

Divide 4 entre -1.

$$x^{2}-4x=-4$$

Divide -4, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -2. Despois, suma o cadrado de -2 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-4+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 ao cadrado.

$$x^{2}-4x+4=-4+4$$

Suma -4 a 4.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Factoriza x^{2}-4x+4. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-2=0 x-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$x=2 x=2$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=2$$