Resolver 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Resolver x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -6,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x+6\right), o mínimo común denominador de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+6 por 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combina 2x e x\times 15 para obter 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Resta 6x en ambos lados.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combina 17x e -6x para obter 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx+12. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 11.

$$a=12 b=-1$$

Reescribe -x^{2}+11x+12 como \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Factoriza -x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Factoriza o termo común x-12 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-12=0 e -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -6,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x+6\right), o mínimo común denominador de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+6 por 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combina 2x e x\times 15 para obter 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Resta 6x en ambos lados.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combina 17x e -6x para obter 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por 11 e c por 12 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 11 ao cadrado.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 121 a 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-11±13}{-2} se ± é máis. Suma -11 a 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Divide 2 entre -2.

$$x=-1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-11±13}{-2} se ± é menos. Resta 13 de -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Divide -24 entre -2.

$$x=12$$

A ecuación está resolta.

$$x=-1 x=12$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -6,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por x\left(x+6\right), o mínimo común denominador de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+6 por 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combina 2x e x\times 15 para obter 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Resta 6x en ambos lados.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combina 17x e -6x para obter 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Resta 12 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$11x-x^{2}=-12$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Divide 11 entre -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Divide -12 entre -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Divide -11, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{11}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{11}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Suma 12 a \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Factoriza x^{2}-11x+\frac{121}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Suma \frac{11}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=12 x=-1$$