Resolver 1500/x-1500/x+250=1/2

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

Resolver x

$$x=-1000$$

$$x=750$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -250,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2x\left(x+250\right), o mínimo común denominador de x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x+500 por 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplica 2 e 1500 para obter 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Resta 250x en ambos lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combina 3000x e -250x para obter 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Combina 2750x e -3000x para obter -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -x^{2}+ax+bx+750000. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -750000.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

A solución é a parella que fornece a suma 250.

$$a=-750 b=1000$$

Reescribe -x^{2}-250x+750000 como \left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right).

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

Factoriza x no primeiro e 1000 no grupo segundo.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

Factoriza o termo común x-750 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-750=0 e x+1000=0.

$$x=750 x=-1000$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -250,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2x\left(x+250\right), o mínimo común denominador de x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x+500 por 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplica 2 e 1500 para obter 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Resta 250x en ambos lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combina 3000x e -250x para obter 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Combina 2750x e -3000x para obter -250x.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -1, b por -250 e c por 750000 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -250 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 750000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 62500 a 3000000.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 3062500.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

O contrario de -250 é 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{250±1750}{-2} se ± é máis. Suma 250 a 1750.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

Divide 2000 entre -2.

$$x=-1000$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{250±1750}{-2} se ± é menos. Resta 1750 de 250.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

Divide -1500 entre -2.

$$x=750$$

A ecuación está resolta.

$$x=-1000 x=750$$

Pasos para completar o cadrado

A variable x non pode ser igual a ningún dos valores -250,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2x\left(x+250\right), o mínimo común denominador de x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2x+500 por 1500.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

Multiplica 2 e 1500 para obter 3000.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por x+250.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

Resta 250x en ambos lados.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

Combina 3000x e -250x para obter 2750x.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

Resta 750000 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

Combina 2750x e -3000x para obter -250x.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

Divide ambos lados entre -1.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

A división entre -1 desfai a multiplicación por -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

Divide -250 entre -1.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

Divide -750000 entre -1.

$$x^{2}+250x=750000$$

Divide 250, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 125. Despois, suma o cadrado de 125 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

Eleva 125 ao cadrado.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

Suma 750000 a 15625.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

Factoriza x^{2}+250x+15625. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

Simplifica.

$$x+125=875 x+125=-875$$

Resta 125 en ambos lados da ecuación.

$$x=750 x=-1000$$