Réitigh {l}{ax+by=e}{cx+dy=f}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = e } \\ { c x + d y = f } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y. (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$ax+by=e$$

Bain by ón dá thaobh den chothromóid.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

Roinn an dá thaobh faoi a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

Méadaigh \frac{1}{a} faoi -by+e.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

Cuir x in aonad \frac{-by+e}{a} sa chothromóid eile, cx+dy=f.

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

Méadaigh c faoi \frac{-by+e}{a}.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

Suimigh -\frac{cby}{a} le dy?

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

Bain \frac{ce}{a} ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

Roinn an dá thaobh faoi d-\frac{cb}{a}.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Cuir y in aonad \frac{fa-ce}{da-cb} in x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

Méadaigh -\frac{b}{a} faoi \frac{fa-ce}{da-cb}.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

Suimigh \frac{e}{a} le -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}?

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Chun ax agus cx a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi c agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi a.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

Simpligh.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

Dealaigh acx+ady=af ó acx+bcy=ec trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Suimigh cax le -cax? Cuirtear na téarmaí cax agus -cax ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Suimigh cby le -ady?

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

Roinn an dá thaobh faoi cb-ad.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Cuir y in aonad \frac{ce-af}{cb-ad} in cx+dy=f. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

Méadaigh d faoi \frac{ce-af}{cb-ad}.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

Bain \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} ón dá thaobh den chothromóid.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

Roinn an dá thaobh faoi c.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Réitigh do x,y.

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$ax+by=e$$

Bain by ón dá thaobh den chothromóid.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

Roinn an dá thaobh faoi a.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

Méadaigh \frac{1}{a} faoi -by+e.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

Cuir x in aonad \frac{-by+e}{a} sa chothromóid eile, cx+dy=f.

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

Méadaigh c faoi \frac{-by+e}{a}.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

Suimigh -\frac{cby}{a} le dy?

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

Bain \frac{ce}{a} ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

Roinn an dá thaobh faoi d-\frac{cb}{a}.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Cuir y in aonad \frac{fa-ce}{da-cb} in x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

Méadaigh -\frac{b}{a} faoi \frac{fa-ce}{da-cb}.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

Suimigh \frac{e}{a} le -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}?

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Chun ax agus cx a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi c agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi a.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

Simpligh.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

Dealaigh acx+ady=af ó acx+bcy=ec trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Suimigh cax le -cax? Cuirtear na téarmaí cax agus -cax ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Suimigh cby le -ady?

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

Roinn an dá thaobh faoi cb-ad.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Cuir y in aonad \frac{ce-af}{cb-ad} in cx+dy=f. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

Méadaigh d faoi \frac{ce-af}{cb-ad}.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

Bain \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} ón dá thaobh den chothromóid.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

Roinn an dá thaobh faoi c.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$