Réitigh {l}{15x+12y=1950}{7x+16y=1950}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 15 x + 12 y = 1950 } \\ { 7 x + 16 y = 1950 } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y.

$$x=50$$

$$y=100$$

Céimeanna ag Baint Úsáid Ionadú

Chun péire cothromóidí a réiteach ag baint úsáid as ionadú, réitigh ceann de na cothromóidí ar dtús le ceann de na hathróga a fháil. Ansin ionadaigh an toradh don athróg sin sa chothromóid eile.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Roghnaigh ceann de na cothromóidí agus réitigh é do x trí x ar an taobh clé den chomhartha ‘Cothrom le’ a aonrú.

$$15x+12y=1950$$

Bain 12y ón dá thaobh den chothromóid.

$$15x=-12y+1950$$

Roinn an dá thaobh faoi 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-12y+1950\right)$$

Méadaigh \frac{1}{15} faoi -12y+1950.

$$x=-\frac{4}{5}y+130$$

Cuir x in aonad -\frac{4y}{5}+130 sa chothromóid eile, 7x+16y=1950.

$$7\left(-\frac{4}{5}y+130\right)+16y=1950$$

Méadaigh 7 faoi -\frac{4y}{5}+130.

$$-\frac{28}{5}y+910+16y=1950$$

Suimigh -\frac{28y}{5} le 16y?

$$\frac{52}{5}y+910=1950$$

Bain 910 ón dá thaobh den chothromóid.

$$\frac{52}{5}y=1040$$

Roinn an dá thaobh den chothromóid faoi \frac{52}{5}, arb ionann é sin agus an dá thaobh a mhéadú faoi dheilín an chodáin.

$$y=100$$

Cuir y in aonad 100 in x=-\frac{4}{5}y+130. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$x=-\frac{4}{5}\times 100+130$$

Méadaigh -\frac{4}{5} faoi 100.

$$x=-80+130$$

Suimigh 130 le -80?

$$x=50$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=50,y=100$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Maitrísí

Cuir na cothromóidí i bhfoirm chaighdeánach agus ansin úsáid maitrísí chun córas na gcothromóidí a réiteach.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Scríobh na cothromóidí i bhfoirm mhaitríse.

$$\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Iolraigh faoi chlé an chothromóid faoi mhaitrís inbhéartach \left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Is ionann an mhaitrís chéannachta agus toradh na maitríse agus a hinbhéarta.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Iolraigh na maitrísí ar thaobh na láimhe clé den chomhartha ‘Cothrom le’.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&12\\7&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Don mhaitrís 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is é an mhaitrís inbhéarta \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), mar sin is féidir cothromóid na maitríse a athscríobh mar fhadhb iolraithe maitríse.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{15\times 16-12\times 7}&-\frac{12}{15\times 16-12\times 7}\\-\frac{7}{15\times 16-12\times 7}&\frac{15}{15\times 16-12\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{13}\\-\frac{7}{156}&\frac{5}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1950\\1950\end{matrix}\right)$$

Méadaigh na maitrísí.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 1950-\frac{1}{13}\times 1950\\-\frac{7}{156}\times 1950+\frac{5}{52}\times 1950\end{matrix}\right)$$

Déan an uimhríocht.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\100\end{matrix}\right)$$

Asbhain na heilimintí maitríse x agus y.

$$x=50,y=100$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Díbirt

Chun réiteach a fháil trí dhíbirt, ní mór do chomhéifeachtaí ceann de na hathróga a bheith mar an gcéanna sa dá chothromóid ionas go gcealófar an athróg nuair a bhaintear cothromóid amháin ón gceann eile.

$$15x+12y=1950,7x+16y=1950$$

Chun 15x agus 7x a dhéanamh cothrom, méadaigh gach téarma ar gach taobh den chéad chothromóid faoi 7 agus gach téarma ar gach taobh den dara cothromóid faoi 15.

$$7\times 15x+7\times 12y=7\times 1950,15\times 7x+15\times 16y=15\times 1950$$

Simpligh.

$$105x+84y=13650,105x+240y=29250$$

Dealaigh 105x+240y=29250 ó 105x+84y=13650 trí théarmaí cosúla ar gach taobh den comhartha cothrom le a dhealú.

$$105x-105x+84y-240y=13650-29250$$

Suimigh 105x le -105x? Cuirtear na téarmaí 105x agus -105x ar ceal, agus níl fágtha ach cothromóid nach bhfuil inti ach athróg amháin is féidir a réiteach.

$$84y-240y=13650-29250$$

Suimigh 84y le -240y?

$$-156y=13650-29250$$

Suimigh 13650 le -29250?

$$-156y=-15600$$

Roinn an dá thaobh faoi -156.

$$y=100$$

Cuir y in aonad 100 in 7x+16y=1950. Toisc nach bhfuil ach athróg amháin sa chothromóid a bheidh mar thoradh air, is féidir leat réiteach díreach a fháil do x.

$$7x+16\times 100=1950$$

Méadaigh 16 faoi 100.

$$7x+1600=1950$$

Bain 1600 ón dá thaobh den chothromóid.

$$7x=350$$

Roinn an dá thaobh faoi 7.

$$x=50$$

Tá an córas réitithe anois.

$$x=50,y=100$$