Réitigh {l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

Réitigh do x,y.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

Céimeanna ag Baint Úsáid as Ionadú agus an bhFoirme Chearnach

Cuir an chéad cothromóid san áireamh. Iolraigh an dá thaobh den chothromóid faoi 12, an comhiolraí is lú de 4,3.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

Cuir an dara cothromóid san áireamh. Úsáid an t-airí dáileach chun k a mhéadú faoi x+1.

$$y=kx+k$$

Cuir y in aonad kx+k sa chothromóid eile, 3x^{2}+4y^{2}=12.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

Cearnóg kx+k.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

Méadaigh 4 faoi k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

Suimigh 3x^{2} le 4k^{2}x^{2}?

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

Bain 12 ón dá thaobh den chothromóid.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

Tá an chothromóid seo i bhfoirm chaighdeánach: ax^{2}+bx+c=0. Cuir 3+4k^{2} in ionad a, 4\times 2kk in ionad b, agus 4k^{2}-12 in ionad c san fhoirmle chearnach, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Cearnóg 4\times 2kk.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Méadaigh -4 faoi 3+4k^{2}.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Méadaigh -12-16k^{2} faoi 4k^{2}-12.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Suimigh 64k^{4} le 144+144k^{2}-64k^{4}?

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Tóg fréamh chearnach 144k^{2}+144.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

Méadaigh 2 faoi 3+4k^{2}.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

Réitigh an chothromóid x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} nuair is ionann ± agus plus. Suimigh -8k^{2} le 12\sqrt{k^{2}+1}?

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

Roinn -8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} faoi 6+8k^{2}.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

Réitigh an chothromóid x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} nuair is ionann ± agus míneas. Dealaigh 12\sqrt{k^{2}+1} ó -8k^{2}.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

Roinn -8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} faoi 6+8k^{2}.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

Tá dhá réiteach ann do x: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} agus -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. Cuir x in aonad \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} sa chothromóid eile y=kx+k chun an réiteach comhfhreagrach do y a shásaíonn an dá chothromóid a fháil.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

Méadaigh k faoi \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}}.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

Ansin cuir x in aonad -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} sa chothromóid eile y=kx+k agus faigh réiteach chun an réiteach comhfhreagrach do y a shásaíonn an dá chothromóid a fháil.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

Méadaigh k faoi -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

Tá an córas réitithe anois.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

Réitigh do x,y. (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$