Résoudre x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

Calculer x

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -2 pour b et -1 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Résoudre l’équation x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

Pour que le produit soit ≤0, l’une des valeurs x-\left(\sqrt{2}+1\right) et x-\left(1-\sqrt{2}\right) doit être ≥0 et l’autre doit être ≤0. Examinons le cas lorsque x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 et x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Examinons le cas lorsque x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 et x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$