Résoudre 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

Factoriser

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Étapes de la solution

Exclure 3.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

Considérer 3y^{2}+25y-18. Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 3y^{2}+ay+by-18. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 25.

$$a=-2 b=27$$

Réécrire 3y^{2}+25y-18 en tant qu’\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

Factorisez y du premier et 9 dans le deuxième groupe.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

Factoriser le facteur commun 3y-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Réécrivez l’expression factorisée complète.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de 75.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par -54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

Additionner 5625 et 1944.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 7569.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-75±87}{18} lorsque ± est positif. Additionner -75 et 87.

$$y=\frac{12}{18}$$

Réduire la fraction \frac{12}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-75±87}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 87 à -75.

$$y=-\frac{162}{18}$$

Diviser -162 par 18.

$$y=-9$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{2}{3} par x_{1} et -9 par x_{2}.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

Soustraire \frac{2}{3} de y en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

Annulez le facteur commun le plus grand 3 dans 9 et 3.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Évaluer

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$