Résoudre 9x^2-68x+84

$$9 x ^ { 2 } - 68 x + 84$$

Factoriser

$$\left(x-6\right)\left(9x-14\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 9x^{2}+ax+bx+84. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-68 ab=9\times 84=756$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 756.

$$-1,-756 -2,-378 -3,-252 -4,-189 -6,-126 -7,-108 -9,-84 -12,-63 -14,-54 -18,-42 -21,-36 -27,-28$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-756=-757 -2-378=-380 -3-252=-255 -4-189=-193 -6-126=-132 -7-108=-115 -9-84=-93 -12-63=-75 -14-54=-68 -18-42=-60 -21-36=-57 -27-28=-55$$

La solution est la paire qui donne la somme -68.

$$a=-54 b=-14$$

Réécrire 9x^{2}-68x+84 en tant qu’\left(9x^{2}-54x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(9x^{2}-54x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Factorisez 9x du premier et -14 dans le deuxième groupe.

$$9x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Factoriser le facteur commun x-6 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-6\right)\left(9x-14\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$9x^{2}-68x+84=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 9\times 84}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -68.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-4\times 9\times 84}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-36\times 84}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 84.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{4624-3024}}{2\times 9}$$

Additionner 4624 et -3024.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{1600}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 1600.

$$x=\frac{-\left(-68\right)±40}{2\times 9}$$

L’inverse de -68 est 68.

$$x=\frac{68±40}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{68±40}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{68±40}{18} lorsque ± est positif. Additionner 68 et 40.

$$x=\frac{108}{18}$$

Diviser 108 par 18.

$$x=6$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{68±40}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 40 à 68.

$$x=\frac{28}{18}$$

Réduire la fraction \frac{28}{18} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{14}{9}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 6 par x_{1} et \frac{14}{9} par x_{2}.

$$9x^{2}-68x+84=9\left(x-6\right)\left(x-\frac{14}{9}\right)$$

Soustraire \frac{14}{9} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$9x^{2}-68x+84=9\left(x-6\right)\times \frac{9x-14}{9}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 9 dans 9 et 9.

$$9x^{2}-68x+84=\left(x-6\right)\left(9x-14\right)$$

Évaluer

$$\left(x-6\right)\left(9x-14\right)$$