Résoudre 9x^2-19x-24=0

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0,888888889$$

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 9x^{2}+ax+bx-24. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

La solution est la paire qui donne la somme -19.

$$a=-27 b=8$$

Réécrire 9x^{2}-19x-24 en tant qu’\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

Factorisez 9x du premier et 8 dans le deuxième groupe.

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et 9x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -19 à b et -24 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -19.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par -24.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

Additionner 361 et 864.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 1225.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

L’inverse de -19 est 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{19±35}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{19±35}{18} lorsque ± est positif. Additionner 19 et 35.

$$x=\frac{54}{18}$$

Diviser 54 par 18.

$$x=3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{19±35}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 35 à 19.

$$x=-\frac{16}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{18} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{8}{9}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Ajouter 24 aux deux côtés de l’équation.

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

La soustraction de -24 de lui-même donne 0.

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

Soustraire -24 à 0.

$$9x^{2}-19x=24$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

Réduire la fraction \frac{24}{9} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

Divisez -\frac{19}{9}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{19}{18}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{19}{18} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{19}{18} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

Additionner \frac{8}{3} et \frac{361}{324} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

Factor x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

Ajouter \frac{19}{18} aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$