Résoudre 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

Calculer x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 21 des deux côtés.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 8x^{2}+ax+bx-21. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 2.

$$a=-12 b=14$$

Réécrire 8x^{2}+2x-21 en tant qu’\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

Factorisez 4x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-3=0 et 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$8x^{2}+2x=21$$

Soustraire 21 des deux côtés de l’équation.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

La soustraction de 21 de lui-même donne 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 8 à a, 2 à b et -21 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Calculer le carré de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Multiplier -4 par 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Multiplier -32 par -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Additionner 4 et 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Extraire la racine carrée de 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

Multiplier 2 par 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±26}{16} lorsque ± est positif. Additionner -2 et 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

Réduire la fraction \frac{24}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±26}{16} lorsque ± est négatif. Soustraire 26 à -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Réduire la fraction \frac{-28}{16} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x=21$$

Divisez les deux côtés par 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

La division par 8 annule la multiplication par 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

Réduire la fraction \frac{2}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

Divisez \frac{1}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{8}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

Additionner \frac{21}{8} et \frac{1}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

Soustraire \frac{1}{8} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$