Résoudre 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3,714285714$$

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 7x^{2}+ax+bx-78. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -546.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

La solution est la paire qui donne la somme 5.

$$a=-21 b=26$$

Réécrire 7x^{2}+5x-78 en tant qu’\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Factorisez 7x du premier et 26 dans le deuxième groupe.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 7 à a, 5 à b et -78 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Calculer le carré de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -4 par 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -28 par -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Additionner 25 et 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Extraire la racine carrée de 2209.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Multiplier 2 par 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±47}{14} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Diviser 42 par 14.

$$x=3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±47}{14} lorsque ± est négatif. Soustraire 47 à -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Réduire la fraction \frac{-52}{14} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Ajouter 78 aux deux côtés de l’équation.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

La soustraction de -78 de lui-même donne 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Soustraire -78 à 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Divisez les deux côtés par 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

La division par 7 annule la multiplication par 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Divisez \frac{5}{7}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{14}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{14} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{14} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Additionner \frac{78}{7} et \frac{25}{196} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Soustraire \frac{5}{14} des deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$