Résoudre 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Calculer t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4,15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0,412160422$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 7 à a, -32 à b et 12 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Calculer le carré de -32.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Multiplier -4 par 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Multiplier -28 par 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Additionner 1024 et -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Extraire la racine carrée de 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

L’inverse de -32 est 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Multiplier 2 par 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} lorsque ± est positif. Additionner 32 et 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Diviser 32+4\sqrt{43} par 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{43} à 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Diviser 32-4\sqrt{43} par 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

L’équation est désormais résolue.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Soustraire 12 des deux côtés de l’équation.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

La soustraction de 12 de lui-même donne 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Divisez les deux côtés par 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

La division par 7 annule la multiplication par 7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Divisez -\frac{32}{7}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{16}{7}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{16}{7} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{16}{7} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Additionner -\frac{12}{7} et \frac{256}{49} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Factor t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Simplifier.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Ajouter \frac{16}{7} aux deux côtés de l’équation.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$