Résoudre 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

Calculer n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 7n^{2}+an+bn-18. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

La solution est la paire qui donne la somme 39.

$$a=-3 b=42$$

Réécrire 7n^{2}+39n-18 en tant qu’\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

Factorisez n du premier et 6 dans le deuxième groupe.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 7n-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 7n-3=0 et n+6=0.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 7 à a, 39 à b et -18 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Calculer le carré de 39.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -4 par 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -28 par -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Additionner 1521 et 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Extraire la racine carrée de 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

Multiplier 2 par 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-39±45}{14} lorsque ± est positif. Additionner -39 et 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Réduire la fraction \frac{6}{14} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-39±45}{14} lorsque ± est négatif. Soustraire 45 à -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

Diviser -84 par 14.

$$n=-6$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Ajouter 18 aux deux côtés de l’équation.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

La soustraction de -18 de lui-même donne 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

Soustraire -18 à 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

Divisez les deux côtés par 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

La division par 7 annule la multiplication par 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

Divisez \frac{39}{7}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{39}{14}. Ajouter ensuite le carré de \frac{39}{14} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{39}{14} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Additionner \frac{18}{7} et \frac{1521}{196} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Factor n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Simplifier.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Soustraire \frac{39}{14} des deux côtés de l’équation.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$