Résoudre 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 40 des deux côtés.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6x^{2}+ax+bx-40. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-16 b=15$$

Réécrire 6x^{2}-x-40 en tant qu’\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-8 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-8=0 et 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}-x=40$$

Soustraire 40 des deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

La soustraction de 40 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, -1 à b et -40 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Additionner 1 et 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±31}{12} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Réduire la fraction \frac{32}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±31}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 31 à 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Réduire la fraction \frac{40}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Divisez -\frac{1}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{12}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Additionner \frac{20}{3} et \frac{1}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Ajouter \frac{1}{12} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$