Résoudre 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-20. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

La solution est la paire qui donne la somme -3.

$$a=-8 b=5$$

Réécrire 2x^{2}-3x-20 en tant qu’\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-4=0 et 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, -9 à b et -60 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Additionner 81 et 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

L’inverse de -9 est 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{9±39}{12} lorsque ± est positif. Additionner 9 et 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Diviser 48 par 12.

$$x=4$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{9±39}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 39 à 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Ajouter 60 aux deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

La soustraction de -60 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Soustraire -60 à 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-9}{6} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Diviser 60 par 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Divisez -\frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Additionner 10 et \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Ajouter \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$