Résoudre 6x^2+17x+10=0

$$6 x ^ { 2 } + 17 x + 10 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x=-2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6x^{2}+ax+bx+10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=17 ab=6\times 10=60$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

La solution est la paire qui donne la somme 17.

$$a=5 b=12$$

Réécrire 6x^{2}+17x+10 en tant qu’\left(6x^{2}+5x\right)+\left(12x+10\right).

$$\left(6x^{2}+5x\right)+\left(12x+10\right)$$

Factorisez x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$x\left(6x+5\right)+2\left(6x+5\right)$$

Factoriser le facteur commun 6x+5 en utilisant la distributivité.

$$\left(6x+5\right)\left(x+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 6x+5=0 et x+2=0.

$$x=-\frac{5}{6} x=-2$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}+17x+10=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, 17 à b et 10 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-24\times 10}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-240}}{2\times 6}$$

Additionner 289 et -240.

$$x=\frac{-17±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 49.

$$x=\frac{-17±7}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{-17±7}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±7}{12} lorsque ± est positif. Additionner -17 et 7.

$$x=-\frac{10}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{12} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±7}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 7 à -17.

$$x=-\frac{24}{12}$$

Diviser -24 par 12.

$$x=-2$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{5}{6} x=-2$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+17x+10=0$$

Soustraire 10 des deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}+17x+10-10=-10$$

La soustraction de 10 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}+17x=-10$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}+17x}{6}=-\frac{10}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x=-\frac{10}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x=-\frac{5}{3}$$

Divisez \frac{17}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{17}{12}. Ajouter ensuite le carré de \frac{17}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{17}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{17}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=-\frac{5}{3}+\frac{289}{144}$$

Additionner -\frac{5}{3} et \frac{289}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}=\frac{49}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{17}{6}x+\frac{289}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{17}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{17}{12}=-\frac{7}{12}$$

Soustraire \frac{17}{12} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{5}{6} x=-2$$