Résoudre 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6x^{2}+ax+bx-7. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 19.

$$a=-2 b=21$$

Réécrire 6x^{2}+19x-7 en tant qu’\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Factorisez 2x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-1=0 et 2x+7=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, 19 à b et -7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Additionner 361 et 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-19±23}{12} lorsque ± est positif. Additionner -19 et 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Réduire la fraction \frac{4}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-19±23}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 23 à -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Réduire la fraction \frac{-42}{12} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Ajouter 7 aux deux côtés de l’équation.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

La soustraction de -7 de lui-même donne 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Soustraire -7 à 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Divisez \frac{19}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{19}{12}. Ajouter ensuite le carré de \frac{19}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{19}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Additionner \frac{7}{6} et \frac{361}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Soustraire \frac{19}{12} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$