Résoudre 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Calculer x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 56x^{2}+ax+bx+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

La solution est la paire qui donne la somme -30.

$$a=-28 b=-2$$

Réécrire 56x^{2}-30x+1 en tant qu’\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Factorisez 28x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-1=0 et 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 56 à a, -30 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Calculer le carré de -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Multiplier -4 par 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Additionner 900 et -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Extraire la racine carrée de 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

L’inverse de -30 est 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Multiplier 2 par 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{30±26}{112} lorsque ± est positif. Additionner 30 et 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Réduire la fraction \frac{56}{112} au maximum en extrayant et en annulant 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{30±26}{112} lorsque ± est négatif. Soustraire 26 à 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Réduire la fraction \frac{4}{112} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Divisez les deux côtés par 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

La division par 56 annule la multiplication par 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{56} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Divisez -\frac{15}{28}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{15}{56}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{15}{56} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{15}{56} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Additionner -\frac{1}{56} et \frac{225}{3136} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Factor x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Ajouter \frac{15}{56} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$