Résoudre 5x^2-5x-17=0

$$5 x ^ { 2 } - 5 x - 17 = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx 2,410497317$$

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}\approx -1,410497317$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -5 à b et -17 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 5\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-20\left(-17\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+340}}{2\times 5}$$

Additionner 25 et 340.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{365}}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} lorsque ± est positif. Additionner 5 et \sqrt{365}.

$$x=\frac{\sqrt{365}+5}{10}$$

Diviser 5+\sqrt{365} par 10.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{365}}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{365} à 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{365}}{10}$$

Diviser 5-\sqrt{365} par 10.

$$x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-5x-17=0$$

Ajouter 17 aux deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}-5x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

La soustraction de -17 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}-5x=-\left(-17\right)$$

Soustraire -17 à 0.

$$5x^{2}-5x=17$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-5x}{5}=\frac{17}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{5}\right)x=\frac{17}{5}$$

Diviser -5 par 5.

$$x^{2}-x=\frac{17}{5}$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{5}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{5}+\frac{1}{4}$$

Additionner \frac{17}{5} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{73}{20}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{73}{20}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{20}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{365}}{10} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{365}}{10}$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{365}}{10}+\frac{1}{2}$$