Résoudre 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-5 b=1$$

Réécrire 5x^{2}-4x-1 en tant qu’\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

Factoriser 5x dans 5x^{2}-5x.

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -4 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -1.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

Additionner 16 et 20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{4±6}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±6}{10} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 6.

$$x=\frac{10}{10}$$

Diviser 10 par 10.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±6}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 6 à 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-4x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$5x^{2}-4x=1$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Divisez -\frac{4}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{5}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Additionner \frac{1}{5} et \frac{4}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Ajouter \frac{2}{5} aux deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$