Résoudre 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-16. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -2.

$$a=-10 b=8$$

Réécrire 5x^{2}-2x-16 en tant qu’\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Factorisez 5x du premier et 8 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-2=0 et 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -2 à b et -16 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Additionner 4 et 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±18}{10} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Diviser 20 par 10.

$$x=2$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±18}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 18 à 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Ajouter 16 aux deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

La soustraction de -16 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Soustraire -16 à 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Divisez -\frac{2}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{5}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Additionner \frac{16}{5} et \frac{1}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Ajouter \frac{1}{5} aux deux côtés de l’équation.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$