Résoudre 5x^2+8x-4=0

$$5 x ^ { 2 } + 8 x - 4 = 0$$

Calculer x

$$x=-2$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=8 ab=5\left(-4\right)=-20$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 8.

$$a=-2 b=10$$

Réécrire 5x^{2}+8x-4 en tant qu’\left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(10x-4\right)$$

Factorisez x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-2\right)\left(x+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x-2=0 et x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 8 à b et -4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-20\left(-4\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+80}}{2\times 5}$$

Additionner 64 et 80.

$$x=\frac{-8±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 144.

$$x=\frac{-8±12}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{-8±12}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8±12}{10} lorsque ± est positif. Additionner -8 et 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Réduire la fraction \frac{4}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8±12}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 12 à -8.

$$x=-\frac{20}{10}$$

Diviser -20 par 10.

$$x=-2$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+8x-4=0$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}+8x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

La soustraction de -4 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}+8x=-\left(-4\right)$$

Soustraire -4 à 0.

$$5x^{2}+8x=4$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}+8x}{5}=\frac{4}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{4}{5}$$

Divisez \frac{8}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{4}{5}. Ajouter ensuite le carré de \frac{4}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{4}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{4}{5}+\frac{16}{25}$$

Additionner \frac{4}{5} et \frac{16}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{36}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{36}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{36}{25}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{6}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$$

Soustraire \frac{4}{5} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{2}{5} x=-2$$