Résoudre 5t^2-72t-108=0

$$5 t ^ { 2 } - 72 t - 108 = 0$$

Calculer t

$$t = \frac{6 \sqrt{51} + 36}{5} \approx 15,769714114$$

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}\approx -1,369714114$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, -72 à b et -108 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{\left(-72\right)^{2}-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de -72.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-4\times 5\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184-20\left(-108\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -108.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{5184+2160}}{2\times 5}$$

Additionner 5184 et 2160.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±\sqrt{7344}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 7344.

$$t=\frac{-\left(-72\right)±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

L’inverse de -72 est 72.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} lorsque ± est positif. Additionner 72 et 12\sqrt{51}.

$$t=\frac{12\sqrt{51}+72}{10}$$

Diviser 72+12\sqrt{51} par 10.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{72±12\sqrt{51}}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 12\sqrt{51} à 72.

$$t=\frac{72-12\sqrt{51}}{10}$$

Diviser 72-12\sqrt{51} par 10.

$$t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5t^{2}-72t-108=0$$

Ajouter 108 aux deux côtés de l’équation.

$$5t^{2}-72t-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

La soustraction de -108 de lui-même donne 0.

$$5t^{2}-72t=-\left(-108\right)$$

Soustraire -108 à 0.

$$5t^{2}-72t=108$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5t^{2}-72t}{5}=\frac{108}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t=\frac{108}{5}$$

Divisez -\frac{72}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{36}{5}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{36}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{108}{5}+\left(-\frac{36}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{36}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{108}{5}+\frac{1296}{25}$$

Additionner \frac{108}{5} et \frac{1296}{25} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}=\frac{1836}{25}$$

Factor t^{2}-\frac{72}{5}t+\frac{1296}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}=\frac{1836}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(t-\frac{36}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1836}{25}}$$

Simplifier.

$$t-\frac{36}{5}=\frac{6\sqrt{51}}{5} t-\frac{36}{5}=-\frac{6\sqrt{51}}{5}$$

Ajouter \frac{36}{5} aux deux côtés de l’équation.

$$t=\frac{6\sqrt{51}+36}{5} t=\frac{36-6\sqrt{51}}{5}$$