Résoudre 5x^2+3x-2=0

$$5 { x }^{ 2 } +3x-2=0$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 5x^{2}+ax+bx-2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 3.

$$a=-2 b=5$$

Réécrire 5x^{2}+3x-2 en tant qu’\left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right).

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right)$$

Factoriser x dans 5x^{2}-2x.

$$x\left(5x-2\right)+5x-2$$

Factoriser le facteur commun 5x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-2\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x-2=0 et x+1=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 3 à b et -2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Additionner 9 et 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$x=\frac{-3±7}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±7}{10} lorsque ± est positif. Additionner -3 et 7.

$$x=\frac{4}{10}$$

Réduire la fraction \frac{4}{10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±7}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 7 à -3.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Diviser -10 par 10.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

Ajouter 2 aux deux côtés de l’équation.

$$5x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

La soustraction de -2 de lui-même donne 0.

$$5x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Soustraire -2 à 0.

$$5x^{2}+3x=2$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{2}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Divisez \frac{3}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{10}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Additionner \frac{2}{5} et \frac{9}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Soustraire \frac{3}{10} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$