Résoudre 49n^2+168n+144

$$49 n ^ { 2 } + 168 n + 144$$

Factoriser

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 49n^{2}+an+bn+144. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=168 ab=49\times 144=7056$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 7056.

$$1,7056 2,3528 3,2352 4,1764 6,1176 7,1008 8,882 9,784 12,588 14,504 16,441 18,392 21,336 24,294 28,252 36,196 42,168 48,147 49,144 56,126 63,112 72,98 84,84$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+7056=7057 2+3528=3530 3+2352=2355 4+1764=1768 6+1176=1182 7+1008=1015 8+882=890 9+784=793 12+588=600 14+504=518 16+441=457 18+392=410 21+336=357 24+294=318 28+252=280 36+196=232 42+168=210 48+147=195 49+144=193 56+126=182 63+112=175 72+98=170 84+84=168$$

La solution est la paire qui donne la somme 168.

$$a=84 b=84$$

Réécrire 49n^{2}+168n+144 en tant qu’\left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right).

$$\left(49n^{2}+84n\right)+\left(84n+144\right)$$

Factorisez 7n du premier et 12 dans le deuxième groupe.

$$7n\left(7n+12\right)+12\left(7n+12\right)$$

Factoriser le facteur commun 7n+12 en utilisant la distributivité.

$$\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation du carré du binôme

Ce trinôme a la forme d’un trinôme carré, éventuellement multiplié par un facteur commun. Les trinômes carrés peuvent être factorisés en recherchant les racines carrées des termes de début et de fin.

$$factor(49n^{2}+168n+144)$$

Trouver le facteur commun le plus grand des coefficients.

$$gcf(49,168,144)=1$$

Trouver la racine carrée du terme de début, 49n^{2}.

$$\sqrt{49n^{2}}=7n$$

Trouver la racine carrée du terme de fin, 144.

$$\sqrt{144}=12$$

Le trinôme carré est le carré du binôme correspondant à la somme ou à la différence des racines carrées des termes de début et de fin, le signe étant déterminé par le signe du terme du milieu du trinôme carré.

$$\left(7n+12\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$49n^{2}+168n+144=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n=\frac{-168±\sqrt{168^{2}-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Calculer le carré de 168.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-4\times 49\times 144}}{2\times 49}$$

Multiplier -4 par 49.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-196\times 144}}{2\times 49}$$

Multiplier -196 par 144.

$$n=\frac{-168±\sqrt{28224-28224}}{2\times 49}$$

Additionner 28224 et -28224.

$$n=\frac{-168±\sqrt{0}}{2\times 49}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$n=\frac{-168±0}{2\times 49}$$

Multiplier 2 par 49.

$$n=\frac{-168±0}{98}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{12}{7} par x_{1} et -\frac{12}{7} par x_{2}.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{12}{7}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$49n^{2}+168n+144=49\left(n+\frac{12}{7}\right)\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Additionner \frac{12}{7} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\left(n+\frac{12}{7}\right)$$

Additionner \frac{12}{7} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{7n+12}{7}\times \frac{7n+12}{7}$$

Multiplier \frac{7n+12}{7} par \frac{7n+12}{7} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{7\times 7}$$

Multiplier 7 par 7.

$$49n^{2}+168n+144=49\times \frac{\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)}{49}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 49 dans 49 et 49.

$$49n^{2}+168n+144=\left(7n+12\right)\left(7n+12\right)$$

Évaluer

$$\left(7n+12\right)^{2}$$