Résoudre 4x^2-8x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=-10 b=2$$

Réécrire 4x^{2}-8x-5 en tant qu’\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Factoriser 2x dans 4x^{2}-10x.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Factoriser le facteur commun 2x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-5=0 et 2x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -8 à b et -5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Additionner 64 et 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

L’inverse de -8 est 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±12}{8} lorsque ± est positif. Additionner 8 et 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

Réduire la fraction \frac{20}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±12}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 12 à 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Ajouter 5 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

La soustraction de -5 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

Soustraire -5 à 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

Diviser -8 par 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

Divisez -2, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -1. Ajouter ensuite le carré de -1 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Additionner \frac{5}{4} et 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Factor x^{2}-2x+1. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Simplifier.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$