Résoudre 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -5 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Additionner 25 et 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} lorsque ± est positif. Additionner 5 et \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{41} à 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Divisez -\frac{5}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Additionner \frac{1}{4} et \frac{25}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Ajouter \frac{5}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$