Résoudre 4x^2-29x+30=0

$$4 x ^ { 2 } - 29 x + 30 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

$$x=6$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx+30. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-29 ab=4\times 30=120$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La solution est la paire qui donne la somme -29.

$$a=-24 b=-5$$

Réécrire 4x^{2}-29x+30 en tant qu’\left(4x^{2}-24x\right)+\left(-5x+30\right).

$$\left(4x^{2}-24x\right)+\left(-5x+30\right)$$

Factorisez 4x du premier et -5 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(x-6\right)-5\left(x-6\right)$$

Factoriser le facteur commun x-6 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-6\right)\left(4x-5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-6=0 et 4x-5=0.

$$x=6 x=\frac{5}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-29x+30=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -29 à b et 30 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{\left(-29\right)^{2}-4\times 4\times 30}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -29.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-4\times 4\times 30}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-16\times 30}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par 30.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{841-480}}{2\times 4}$$

Additionner 841 et -480.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 361.

$$x=\frac{-\left(-29\right)±19}{2\times 4}$$

L’inverse de -29 est 29.

$$x=\frac{29±19}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{29±19}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{29±19}{8} lorsque ± est positif. Additionner 29 et 19.

$$x=\frac{48}{8}$$

Diviser 48 par 8.

$$x=6$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{29±19}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 19 à 29.

$$x=\frac{10}{8}$$

Réduire la fraction \frac{10}{8} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=6 x=\frac{5}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-29x+30=0$$

Soustraire 30 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-29x+30-30=-30$$

La soustraction de 30 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-29x=-30$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-29x}{4}=-\frac{30}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x=-\frac{30}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x=-\frac{15}{2}$$

Divisez -\frac{29}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{29}{8}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{29}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x+\left(-\frac{29}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{29}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{29}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x+\frac{841}{64}=-\frac{15}{2}+\frac{841}{64}$$

Additionner -\frac{15}{2} et \frac{841}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{29}{4}x+\frac{841}{64}=\frac{361}{64}$$

Factor x^{2}-\frac{29}{4}x+\frac{841}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{8}\right)^{2}=\frac{361}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{64}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{29}{8}=\frac{19}{8} x-\frac{29}{8}=-\frac{19}{8}$$

Ajouter \frac{29}{8} aux deux côtés de l’équation.

$$x=6 x=\frac{5}{4}$$