Résoudre 4x^2-25=(2x-5)(7x+3)

$$4 x ^ { 2 } - 25 = ( 2 x - 5 ) ( 7 x + 3 )$$

Calculer x

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la distributivité pour multiplier 2x-5 par 7x+3 et combiner les termes semblables.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Soustraire 14x^{2} des deux côtés.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Combiner 4x^{2} et -14x^{2} pour obtenir -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Ajouter 29x aux deux côtés.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Ajouter 15 aux deux côtés.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Additionner -25 et 15 pour obtenir -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -10x^{2}+ax+bx-10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=29 ab=-10\left(-10\right)=100$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

La solution est la paire qui donne la somme 29.

$$a=25 b=4$$

Réécrire -10x^{2}+29x-10 en tant qu’\left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right).

$$\left(-10x^{2}+25x\right)+\left(4x-10\right)$$

Factorisez -5x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$-5x\left(2x-5\right)+2\left(2x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-5\right)\left(-5x+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-5=0 et -5x+2=0.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la distributivité pour multiplier 2x-5 par 7x+3 et combiner les termes semblables.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Soustraire 14x^{2} des deux côtés.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Combiner 4x^{2} et -14x^{2} pour obtenir -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Ajouter 29x aux deux côtés.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Ajouter 15 aux deux côtés.

$$-10x^{2}-25+29x+15=0$$

Additionner -25 et 15 pour obtenir -10.

$$-10x^{2}-10+29x=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-10x^{2}+29x-10=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -10 à a, 29 à b et -10 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Calculer le carré de 29.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-4\left(-10\right)\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplier -4 par -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841+40\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

Multiplier 40 par -10.

$$x=\frac{-29±\sqrt{841-400}}{2\left(-10\right)}$$

Additionner 841 et -400.

$$x=\frac{-29±\sqrt{441}}{2\left(-10\right)}$$

Extraire la racine carrée de 441.

$$x=\frac{-29±21}{2\left(-10\right)}$$

Multiplier 2 par -10.

$$x=\frac{-29±21}{-20}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-29±21}{-20} lorsque ± est positif. Additionner -29 et 21.

$$x=-\frac{8}{-20}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{-20} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{2}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-29±21}{-20} lorsque ± est négatif. Soustraire 21 à -29.

$$x=-\frac{50}{-20}$$

Réduire la fraction \frac{-50}{-20} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2}{5} x=\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la distributivité pour multiplier 2x-5 par 7x+3 et combiner les termes semblables.

$$4x^{2}-25=14x^{2}-29x-15$$

Soustraire 14x^{2} des deux côtés.

$$4x^{2}-25-14x^{2}=-29x-15$$

Combiner 4x^{2} et -14x^{2} pour obtenir -10x^{2}.

$$-10x^{2}-25=-29x-15$$

Ajouter 29x aux deux côtés.

$$-10x^{2}-25+29x=-15$$

Ajouter 25 aux deux côtés.

$$-10x^{2}+29x=-15+25$$

Additionner -15 et 25 pour obtenir 10.

$$-10x^{2}+29x=10$$

Divisez les deux côtés par -10.

$$\frac{-10x^{2}+29x}{-10}=\frac{10}{-10}$$

La division par -10 annule la multiplication par -10.

$$x^{2}+\frac{29}{-10}x=\frac{10}{-10}$$

Diviser 29 par -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=\frac{10}{-10}$$

Diviser 10 par -10.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x=-1$$

Divisez -\frac{29}{10}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{29}{20}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{29}{20} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{29}{20}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{29}{20} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=-1+\frac{841}{400}$$

Additionner -1 et \frac{841}{400}.

$$x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}=\frac{441}{400}$$

Factor x^{2}-\frac{29}{10}x+\frac{841}{400}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}=\frac{441}{400}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{29}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{400}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{29}{20}=\frac{21}{20} x-\frac{29}{20}=-\frac{21}{20}$$

Ajouter \frac{29}{20} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{2} x=\frac{2}{5}$$