Résoudre 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 21 des deux côtés.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Soustraire 21 de 1 pour obtenir -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=-4 b=5$$

Réécrire 2x^{2}+x-10 en tant qu’\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-2=0 et 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Soustraire 21 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

La soustraction de 21 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Soustraire 21 à 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 2 à b et -20 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Additionner 4 et 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±18}{8} lorsque ± est positif. Additionner -2 et 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Diviser 16 par 8.

$$x=2$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±18}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 18 à -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-20}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Soustraire 1 à 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Réduire la fraction \frac{2}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Diviser 20 par 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Divisez \frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Additionner 5 et \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Soustraire \frac{1}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$