Résoudre 4x^2-12x-7=0

$$4 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4x^{2}+ax+bx-7. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-12 ab=4\left(-7\right)=-28$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

La solution est la paire qui donne la somme -12.

$$a=-14 b=2$$

Réécrire 4x^{2}-12x-7 en tant qu’\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right).

$$\left(4x^{2}-14x\right)+\left(2x-7\right)$$

Factoriser 2x dans 4x^{2}-14x.

$$2x\left(2x-7\right)+2x-7$$

Factoriser le facteur commun 2x-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-7\right)\left(2x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-7=0 et 2x+1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, -12 à b et -7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-7\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+112}}{2\times 4}$$

Additionner 144 et 112.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 256.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±16}{2\times 4}$$

L’inverse de -12 est 12.

$$x=\frac{12±16}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$x=\frac{12±16}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{12±16}{8} lorsque ± est positif. Additionner 12 et 16.

$$x=\frac{28}{8}$$

Réduire la fraction \frac{28}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{12±16}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 16 à 12.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-7=0$$

Ajouter 7 aux deux côtés de l’équation.

$$4x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

La soustraction de -7 de lui-même donne 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Soustraire -7 à 0.

$$4x^{2}-12x=7$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{7}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{7}{4}$$

Diviser -12 par 4.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{4}$$

Divisez -3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7+9}{4}$$

Additionner \frac{7}{4} et \frac{9}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=4$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{2}=2 x-\frac{3}{2}=-2$$

Ajouter \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{7}{2} x=-\frac{1}{2}$$