Résoudre 3z^2+16z+20

$$3 z ^ { 2 } + 16 z + 20$$

Factoriser

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 3z^{2}+az+bz+20. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=16 ab=3\times 20=60$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

La solution est la paire qui donne la somme 16.

$$a=6 b=10$$

Réécrire 3z^{2}+16z+20 en tant qu’\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right).

$$\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right)$$

Factorisez 3z du premier et 10 dans le deuxième groupe.

$$3z\left(z+2\right)+10\left(z+2\right)$$

Factoriser le facteur commun z+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+16z+20=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 16.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 20.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

Additionner 256 et -240.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 16.

$$z=\frac{-16±4}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$z=\frac{-16±4}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{-16±4}{6} lorsque ± est positif. Additionner -16 et 4.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Diviser -12 par 6.

$$z=-2$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{-16±4}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 4 à -16.

$$z=-\frac{20}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-20}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$z=-\frac{10}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -2 par x_{1} et -\frac{10}{3} par x_{2}.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z-\left(-2\right)\right)\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

Additionner \frac{10}{3} et z en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\times \frac{3z+10}{3}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 3 dans 3 et 3.

$$3z^{2}+16z+20=\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Évaluer

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$