Résoudre 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Factoriser

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Multiplier et combiner des termes semblables.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Pour factoriser l’expression, résolvez l’équation où elle est égale à 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -16 et q divise le 3 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=-4$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 par x+4 pour obtenir 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -4 et q divise le 3 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=-4$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 3x^{3}+12x^{2}-x-4 par x+4 pour obtenir 3x^{2}-1. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 3 pour a, 0 pour b et -1 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Résoudre l’équation 3x^{2}-1=0 lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Réécrivez l'expression factorisée à l'aide des racines obtenues. Le 3x^{2}-1 polynomiale n’est pas pris en compte, car il ne possède pas de racines Rational.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Évaluer

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Combiner 48x^{2} et -x^{2} pour obtenir 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$