Résoudre 3x^2-5x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0,833333333+0,799305254i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0,833333333-0,799305254i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-5x+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -5 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48}}{2\times 3}$$

Additionner 25 et -48.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-23}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de -23.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6} lorsque ± est positif. Additionner 5 et i\sqrt{23}.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{23}i}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{23} à 5.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+4=0$$

Soustraire 4 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-5x+4-4=-4$$

La soustraction de 4 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-5x=-4$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{4}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Divisez -\frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

Additionner -\frac{4}{3} et \frac{25}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

Ajouter \frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$