Résoudre 3x^2-4x+8=0

$$3 x ^ { 2 } - 4 x + 8 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0,666666667+1,490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}\approx 0,666666667-1,490711985i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-4x+8=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -4 à b et 8 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\times 8}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\times 8}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 8.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-96}}{2\times 3}$$

Additionner 16 et -96.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de -80.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

L’inverse de -4 est 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{6} lorsque ± est positif. Additionner 4 et 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+4\sqrt{5}i}{6}$$

Diviser 4+4i\sqrt{5} par 6.

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{4±4\sqrt{5}i}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 4i\sqrt{5} à 4.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+4}{6}$$

Diviser 4-4i\sqrt{5} par 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x+8=0$$

Soustraire 8 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-4x+8-8=-8$$

La soustraction de 8 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-4x=-8$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{8}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{8}{3}$$

Divisez -\frac{4}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{2}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{2}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{9}$$

Additionner -\frac{8}{3} et \frac{4}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{20}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Ajouter \frac{2}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{2+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+2}{3}$$