Résoudre 3x^2-20x-68=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x - 68 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{4 \sqrt{19} + 10}{3} \approx 9,145198591$$

$$x=\frac{10-4\sqrt{19}}{3}\approx -2,478531925$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-20x-68=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -20 à b et -68 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -68.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+816}}{2\times 3}$$

Additionner 400 et 816.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{1216}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 1216.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±8\sqrt{19}}{2\times 3}$$

L’inverse de -20 est 20.

$$x=\frac{20±8\sqrt{19}}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{20±8\sqrt{19}}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{20±8\sqrt{19}}{6} lorsque ± est positif. Additionner 20 et 8\sqrt{19}.

$$x=\frac{8\sqrt{19}+20}{6}$$

Diviser 20+8\sqrt{19} par 6.

$$x=\frac{4\sqrt{19}+10}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{20±8\sqrt{19}}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 8\sqrt{19} à 20.

$$x=\frac{20-8\sqrt{19}}{6}$$

Diviser 20-8\sqrt{19} par 6.

$$x=\frac{10-4\sqrt{19}}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{4\sqrt{19}+10}{3} x=\frac{10-4\sqrt{19}}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x-68=0$$

Ajouter 68 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-20x-68-\left(-68\right)=-\left(-68\right)$$

La soustraction de -68 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-20x=-\left(-68\right)$$

Soustraire -68 à 0.

$$3x^{2}-20x=68$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=\frac{68}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{68}{3}$$

Divisez -\frac{20}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{10}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{10}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{68}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{10}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{68}{3}+\frac{100}{9}$$

Additionner \frac{68}{3} et \frac{100}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{304}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{304}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{304}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{4\sqrt{19}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{4\sqrt{19}}{3}$$

Ajouter \frac{10}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{4\sqrt{19}+10}{3} x=\frac{10-4\sqrt{19}}{3}$$