Résoudre 3x^2-2x-1=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-2 ab=3\left(-1\right)=-3$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-3 b=1$$

Réécrire 3x^{2}-2x-1 en tant qu’\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(x-1\right)$$

Factoriser 3x dans 3x^{2}-3x.

$$3x\left(x-1\right)+x-1$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(3x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -2 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12}}{2\times 3}$$

Additionner 4 et 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4}{2\times 3}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±4}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{2±4}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±4}{6} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 4.

$$x=\frac{6}{6}$$

Diviser 6 par 6.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±4}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 4 à 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$3x^{2}-2x=1$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{1}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Divisez -\frac{2}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Additionner \frac{1}{3} et \frac{1}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Ajouter \frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$