Résoudre 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3,666666667$$

$$x=1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-11. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -33.

$$-1,33 -3,11$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

La solution est la paire qui donne la somme 8.

$$a=-3 b=11$$

Réécrire 3x^{2}+8x-11 en tant qu’\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Factorisez 3x du premier et 11 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-1=0 et 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 8 à b et -11 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Additionner 64 et 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8±14}{6} lorsque ± est positif. Additionner -8 et 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Diviser 6 par 6.

$$x=1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8±14}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 14 à -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-22}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Ajouter 11 aux deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

La soustraction de -11 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Soustraire -11 à 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Divisez \frac{8}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{4}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{4}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Additionner \frac{11}{3} et \frac{16}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Soustraire \frac{4}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$