Résoudre 3x^2+3x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}\approx -0,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}\approx -0,5-1,658312395i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 3 à b et 9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-108}}{2\times 3}$$

Additionner 9 et -108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-99}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de -99.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} lorsque ± est positif. Additionner -3 et 3i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{11}i}{6}$$

Diviser -3+3i\sqrt{11} par 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 3i\sqrt{11} à -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i-3}{6}$$

Diviser -3-3i\sqrt{11} par 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}+3x+9-9=-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}+3x=-9$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{9}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Diviser 3 par 3.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{3}$$

Diviser -9 par 3.

$$x^{2}+x=-3$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Additionner -3 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$