Résoudre 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Calculer r

$$r=3$$

$$r=5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Ajouter 45 aux deux côtés.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que r^{2}+ar+br+15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=-5 b=-3$$

Réécrire r^{2}-8r+15 en tant qu’\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Factorisez r du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Factoriser le facteur commun r-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez r-5=0 et r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Ajouter 45 aux deux côtés de l’équation.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

La soustraction de -45 de lui-même donne 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Soustraire -45 à 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -24 à b et 45 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Additionner 576 et -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

L’inverse de -24 est 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{24±6}{6} lorsque ± est positif. Additionner 24 et 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Diviser 30 par 6.

$$r=5$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{24±6}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 6 à 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Diviser 18 par 6.

$$r=3$$

L’équation est désormais résolue.

$$r=5 r=3$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Diviser -24 par 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Diviser -45 par 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Divisez -8, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -4. Ajouter ensuite le carré de -4 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Calculer le carré de -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Additionner -15 et 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Factor r^{2}-8r+16. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifier.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$r=5 r=3$$