Résoudre 3q^2+q-14=0

$$3 q ^ { 2 } + q - 14 = 0$$

Calculer q

$$q = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$q=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3q^{2}+aq+bq-14. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=3\left(-14\right)=-42$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=-6 b=7$$

Réécrire 3q^{2}+q-14 en tant qu’\left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right).

$$\left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right)$$

Factorisez 3q du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$3q\left(q-2\right)+7\left(q-2\right)$$

Factoriser le facteur commun q-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(q-2\right)\left(3q+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez q-2=0 et 3q+7=0.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3q^{2}+q-14=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 1 à b et -14 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 1.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -14.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 3}$$

Additionner 1 et 168.

$$q=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$q=\frac{-1±13}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$q=\frac{-1±13}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation q=\frac{-1±13}{6} lorsque ± est positif. Additionner -1 et 13.

$$q=\frac{12}{6}$$

Diviser 12 par 6.

$$q=2$$

Résolvez maintenant l’équation q=\frac{-1±13}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à -1.

$$q=-\frac{14}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-14}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$q=-\frac{7}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}+q-14=0$$

Ajouter 14 aux deux côtés de l’équation.

$$3q^{2}+q-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

La soustraction de -14 de lui-même donne 0.

$$3q^{2}+q=-\left(-14\right)$$

Soustraire -14 à 0.

$$3q^{2}+q=14$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3q^{2}+q}{3}=\frac{14}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q=\frac{14}{3}$$

Divisez \frac{1}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{14}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{14}{3}+\frac{1}{36}$$

Additionner \frac{14}{3} et \frac{1}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{169}{36}$$

Factor q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifier.

$$q+\frac{1}{6}=\frac{13}{6} q+\frac{1}{6}=-\frac{13}{6}$$

Soustraire \frac{1}{6} des deux côtés de l’équation.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$