Résoudre 3n^2-n-420

$$3 n ^ { 2 } - n - 420$$

Factoriser

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 3n^{2}+an+bn-420. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=3\left(-420\right)=-1260$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -1260.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-36 b=35$$

Réécrire 3n^{2}-n-420 en tant qu’\left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right).

$$\left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right)$$

Factorisez 3n du premier et 35 dans le deuxième groupe.

$$3n\left(n-12\right)+35\left(n-12\right)$$

Factoriser le facteur commun n-12 en utilisant la distributivité.

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$3n^{2}-n-420=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -420.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+5040}}{2\times 3}$$

Additionner 1 et 5040.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5041}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 5041.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±71}{2\times 3}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$n=\frac{1±71}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$n=\frac{1±71}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{1±71}{6} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 71.

$$n=\frac{72}{6}$$

Diviser 72 par 6.

$$n=12$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{1±71}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 71 à 1.

$$n=-\frac{70}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-70}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$n=-\frac{35}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 12 par x_{1} et -\frac{35}{3} par x_{2}.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n-\left(-\frac{35}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n+\frac{35}{3}\right)$$

Additionner \frac{35}{3} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\times \frac{3n+35}{3}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 3 dans 3 et 3.

$$3n^{2}-n-420=\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Évaluer

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$