Résoudre 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Calculer n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 1141 des deux côtés.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Soustraire 1141 de 1 pour obtenir -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que n^{2}+an+bn-380. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=-19 b=20$$

Réécrire n^{2}+n-380 en tant qu’\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Factorisez n du premier et 20 dans le deuxième groupe.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Factoriser le facteur commun n-19 en utilisant la distributivité.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez n-19=0 et n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Soustraire 1141 des deux côtés de l’équation.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

La soustraction de 1141 de lui-même donne 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Soustraire 1141 à 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 3 à b et -1140 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Additionner 9 et 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-3±117}{6} lorsque ± est positif. Additionner -3 et 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Diviser 114 par 6.

$$n=19$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-3±117}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 117 à -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Diviser -120 par 6.

$$n=-20$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=19 n=-20$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Soustraire 1 à 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Diviser 3 par 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Diviser 1140 par 3.

$$n^{2}+n=380$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Additionner 380 et \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Factor n^{2}+n+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Simplifier.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$n=19 n=-20$$