Résoudre 3f^2+3f-18=0

$$3 f ^ { 2 } + 3 f - 18 = 0$$

Calculer f

$$f=-3$$

$$f=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 3.

$$f^{2}+f-6=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que f^{2}+af+bf-6. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=1\left(-6\right)=-6$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=-2 b=3$$

Réécrire f^{2}+f-6 en tant qu’\left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right).

$$\left(f^{2}-2f\right)+\left(3f-6\right)$$

Factorisez f du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$f\left(f-2\right)+3\left(f-2\right)$$

Factoriser le facteur commun f-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(f-2\right)\left(f+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez f-2=0 et f+3=0.

$$f=2 f=-3$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 3 à b et -18 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 3.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-18\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -18.

$$f=\frac{-3±\sqrt{9+216}}{2\times 3}$$

Additionner 9 et 216.

$$f=\frac{-3±\sqrt{225}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 225.

$$f=\frac{-3±15}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$f=\frac{-3±15}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation f=\frac{-3±15}{6} lorsque ± est positif. Additionner -3 et 15.

$$f=\frac{12}{6}$$

Diviser 12 par 6.

$$f=2$$

Résolvez maintenant l’équation f=\frac{-3±15}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 15 à -3.

$$f=-\frac{18}{6}$$

Diviser -18 par 6.

$$f=-3$$

L’équation est désormais résolue.

$$f=2 f=-3$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3f^{2}+3f-18=0$$

Ajouter 18 aux deux côtés de l’équation.

$$3f^{2}+3f-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

La soustraction de -18 de lui-même donne 0.

$$3f^{2}+3f=-\left(-18\right)$$

Soustraire -18 à 0.

$$3f^{2}+3f=18$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3f^{2}+3f}{3}=\frac{18}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$f^{2}+\frac{3}{3}f=\frac{18}{3}$$

Diviser 3 par 3.

$$f^{2}+f=\frac{18}{3}$$

Diviser 18 par 3.

$$f^{2}+f=6$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$f^{2}+f+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Additionner 6 et \frac{1}{4}.

$$f^{2}+f+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor f^{2}+f+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(f+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifier.

$$f+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} f+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$f=2 f=-3$$