Résoudre 3x^2-15x+16=0

$$3 { x }^{ 2 } -15x+16=0$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 3,457427108$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 1,542572892$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, -15 à b et 16 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 16.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-192}}{2\times 3}$$

Additionner 225 et -192.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

L’inverse de -15 est 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} lorsque ± est positif. Additionner 15 et \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}+15}{6}$$

Diviser 15+\sqrt{33} par 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{33} à 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{33}}{6}$$

Diviser 15-\sqrt{33} par 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Soustraire 16 des deux côtés de l’équation.

$$3x^{2}-15x+16-16=-16$$

La soustraction de 16 de lui-même donne 0.

$$3x^{2}-15x=-16$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{16}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{16}{3}$$

Diviser -15 par 3.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{3}$$

Divisez -5, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{16}{3}+\frac{25}{4}$$

Additionner -\frac{16}{3} et \frac{25}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{12}$$

Factor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Ajouter \frac{5}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$