Résoudre 3sqrt{x+4}=x-4

$$3 \sqrt { x + 4 } = x - 4$$

Calculer x

$$x = \frac{3 \sqrt{41} + 17}{2} \approx 18,104686356$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(3\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(x-4\right)^{2}$$

Étendre \left(3\sqrt{x+4}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(x-4\right)^{2}$$

Calculer 3 à la puissance 2 et obtenir 9.

$$9\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(x-4\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+4} à la puissance 2 et obtenir x+4.

$$9\left(x+4\right)=\left(x-4\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 9 par x+4.

$$9x+36=\left(x-4\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-4\right)^{2}.

$$9x+36=x^{2}-8x+16$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$9x+36-x^{2}=-8x+16$$

Ajouter 8x aux deux côtés.

$$9x+36-x^{2}+8x=16$$

Combiner 9x et 8x pour obtenir 17x.

$$17x+36-x^{2}=16$$

Soustraire 16 des deux côtés.

$$17x+36-x^{2}-16=0$$

Soustraire 16 de 36 pour obtenir 20.

$$17x+20-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+17x+20=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 17 à b et 20 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\left(-1\right)\times 20}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\left(-1\right)\times 20}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+4\times 20}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 20.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+80}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 289 et 80.

$$x=\frac{-17±\sqrt{369}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 369.

$$x=\frac{-17±3\sqrt{41}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-17±3\sqrt{41}}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±3\sqrt{41}}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -17 et 3\sqrt{41}.

$$x=\frac{3\sqrt{41}-17}{-2}$$

Diviser -17+3\sqrt{41} par -2.

$$x=\frac{17-3\sqrt{41}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±3\sqrt{41}}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 3\sqrt{41} à -17.

$$x=\frac{-3\sqrt{41}-17}{-2}$$

Diviser -17-3\sqrt{41} par -2.

$$x=\frac{3\sqrt{41}+17}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{17-3\sqrt{41}}{2} x=\frac{3\sqrt{41}+17}{2}$$

Remplacez x par \frac{17-3\sqrt{41}}{2} dans l’équation 3\sqrt{x+4}=x-4.

$$3\sqrt{\frac{17-3\sqrt{41}}{2}+4}=\frac{17-3\sqrt{41}}{2}-4$$

Simplifier. La valeur x=\frac{17-3\sqrt{41}}{2} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par \frac{3\sqrt{41}+17}{2} dans l’équation 3\sqrt{x+4}=x-4.

$$3\sqrt{\frac{3\sqrt{41}+17}{2}+4}=\frac{3\sqrt{41}+17}{2}-4$$

Simplifier. La valeur x=\frac{3\sqrt{41}+17}{2} satisfait à l’équation.

$$\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 41^{\frac{1}{2}}+\frac{9}{2}$$

L’équation 3\sqrt{x+4}=x-4 a une solution unique.

$$x=\frac{3\sqrt{41}+17}{2}$$